Luna

Hola.Recientemente me contestaron sobre una consulta diciéndome que la palabra "Luna" se escribía con minúscula salvo en textos científicos; pero consultando el diccionario de la RAE se dice claramente que se escribe con mayúscula (no sé si me pueden aclarar esto por favor). Mi duda surge cuando el sustantivo puede ser (no sé) propio o común. Por ejemplo: La mujer miró la Luna, la luna llena que siempre aparecía cada veintiocho días" ¿Sería correcto que la primera "Luna" fuera con mayúscula y la segunda con minúscula?