Tu/tus cumpleaños

Sí, es correcto. Cumpleaños es invariable en número, el singular o el plural vienen indicados por sus determinantes: el/mi/tu cumpleaños (un solo cumpleaños); los/mis/tus cumpleaños (varios cumpleaños), por lo tanto, la adecuación de decir tu o tus cumpleaños dependerá de la semántica del enunciado. Este año tu cumpleaños cae martes. Recuerdo muy bien tus cumpleaños, ¡qué fiestas tan divertidas!