HAIGA O HAYA, CAIGA O CAYA

Mi propósito es saber cual es la forma adecuada de hablar y escribir de estos dos verbos, según la RAE y DPD, pues se usa mucho la palabra CAIGA del verbo CAER, pero muchos dicen que es CAYA, HAIGA en vez de HAYA, del verbo HABER, estoy estudiando letras español en Brasil, vi algunos comentarios de linguistas que la palabra CAIGA es un error, pero hay en la gramática española este verbo bien conjugado, la palabra HAIGA no encuentro en mi gramática, pero es comunmente hablado y cuál es lo correcto? agradezco si me sacan esta duda, gracias.